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3腳註

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用古氏積木排列出合數10的因數

合數（右側紅色部份）可以用長寬都不是1的長方形來表示，但質數（左側藍色部份）只能用其中一邊長是1的長方形表示

在數論中，合數（也稱為合成數）是除了1和其本身外具有其他正因數的正整數[1][2]。依照定義，每一個大於1的整數若不是質數，就會是合數[3][4]。而1則被認為不是質數，也不是合數。

例如，整數14是一個合數，因為它可以被分解成

{\displaystyle 2\times 7}

。而整數2無法再找到本身和1以外的正因數，因此不是合數。

起初120个合数为： 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, ...等等（OEIS數列A002808）。

每一個合數都可以寫成二個或多個質數（不一定是相異質數）的乘積[2]。例如，合數299可以寫成13 × 23，合數360可以寫成23 × 32 × 5，而且若將質因數依大小排列後，此表示法是唯一的。這是算术基本定理[5][6][7][8]。

有許多的素性测试可以在不進行因數分解的情形下，判斷一數字是質數還是合數。

性質[编辑]

所有大於2的偶數都是合數，也就是在正整數中除了2以外，其餘數的個位數為0、2、4、6、8者均為合數。4為最小的合數。

每一合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積。（算術基本定理）

所有合數都有至少3個正因數，例如4有正因數1、2、4，6有正因數1、2、3、6。

對任一大於5的合數

{\displaystyle n}

，

(

−

)

≡

(

mod

)

{\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}}

。（威爾遜定理）

對於任意的正整數

{\displaystyle n}

，都可以找到一個正整數

{\displaystyle x}

，使得

{\displaystyle x}

、

{\displaystyle x+1}

、

{\displaystyle x+2}

、…、

{\displaystyle x+n}

都是合數。

合數的類型[编辑]

100以內的过剩数、本原過剩數、高過剩數、超過剩數、可羅薩里過剩數、高合成数、superior highly composite number（英语：superior highly composite）、奇異數和完全数的歐拉圖，以及和亏数、合数的關係

分類合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個可表示為兩個質數之乘積的合數稱為半質數，有三個質因數的合數則稱為楔形數。在一些的應用中，亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對於後者，

(

)

(

−

)

{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x}=1}

（其中μ為默比烏斯函數且

{\displaystyle x}

為質因數個數的一半），而前者則為

(

)

(

−

)

−

{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1}

注意，對於質數，此函數會傳回-1，且

(

)

{\displaystyle \mu (1)=1}

。而對於有一個或多個重複質因數的數字

{\displaystyle n}

，

(

)

{\displaystyle \mu (n)=0}

。

另一種分類合數的方法為計算其正因數的個數。所有的合數都至少有三個正因數。一質數

{\displaystyle p}

的平方，其正因數有

{

}

{\displaystyle \{1,p,p^{2}\}}

。一數若有著比它小的整數都還多的正因數，則稱此數為高合成數。另外，完全平方數的正因數個數為奇數個，而其他的合數則皆為偶數個。

還有一種將合數分類的方式，是檢查其質因數是否都比特定數字大，或是比特定數字小。這些會稱為光滑數或粗糙數。

腳註[编辑]

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, pp. 23–24)

^ 2.0 2.1 Long (1972, p. 16)

^ Fraleigh (1976, pp. 198,266)

^ Herstein (1964, p. 106)

^ Fraleigh (1976, p. 270)

^ Long (1972, p. 44)

^ McCoy (1968, p. 85)

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 53)

參考文獻[编辑]

Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976, ISBN 0-201-01984-1

Herstein, I. N., Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN 978-1114541016

Long, Calvin T., Elementary Introduction to Number Theory 2nd, Lexington: D. C. Heath and Company, 1972, LCCN 77-171950

McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68-15225

Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R., Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1970, LCCN 77-81766

相關條目[编辑]

維基教科書中的相關電子教程：小学数学/质数与合数

質數

質因數

最小公倍數

最大公因數

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埃拉托斯特尼筛法

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質因數分解

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元因數

除數函數

質因數

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质数

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楔形数

无平方数因数的数

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質數冪

平方數

立方數

次方數

阿喀琉斯數

光滑數

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粗糙數

不尋常數

依因數和分類

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殆完全數

准完全数

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Hemiperfect數

Hyperperfect number（英语：Hyperperfect number）

超完全數

元完全數

半完全数

本原半完全数

實際數

有許多因數

过剩数

本原過剩數

高過剩數

超過剩數

可羅薩里過剩數

高合成数

Superior highly composite number（英语：Superior highly composite number）

奇異數

和真因子和數列有關

不可及数

相亲数

交際數

婚約數

其他

亏数

友誼數

孤獨數

卓越数

歐爾調和數

佩服數

節儉數

等數位數

奢侈數

取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=合数&oldid=73944684”

分类：初等数论算术整数数列

本页面最后修订于2022年10月4日 (星期二) 14:52。

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序言

1性质

2合数的类型

3脚注

4参考文献

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用古氏积木排列出合数10的因数

合数（右侧红色部分）可以用长宽都不是1的长方形来表示，但质数（左侧蓝色部分）只能用其中一边长是1的长方形表示

在数论中，合数（也称为合成数）是除了1和其本身外具有其他正因数的正整数[1][2]。依照定义，每一个大于1的整数若不是质数，就会是合数[3][4]。而1则被认为不是质数，也不是合数。

例如，整数14是一个合数，因为它可以被分解成

{\displaystyle 2\times 7}

。而整数2无法再找到本身和1以外的正因数，因此不是合数。

每一个合数都可以写成二个或多个质数（不一定是相异质数）的乘积[2]。例如，合数299可以写成13 × 23，合数360可以写成23 × 32 × 5，而且若将质因数依大小排列后，此表示法是唯一的。这是算术基本定理[5][6][7][8]。

有许多的素性测试可以在不进行因数分解的情形下，判断一数字是质数还是合数。

性质[编辑]

所有大于2的偶数都是合数，也就是在正整数中除了2以外，其余数的个位数为0、2、4、6、8者均为合数。4为最小的合数。

每一合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积。（算术基本定理）

所有合数都有至少3个正因数，例如4有正因数1、2、4，6有正因数1、2、3、6。

对任一大于5的合数

{\displaystyle n}

，

(

−

)

≡

(

mod

)

{\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}}

。（威尔逊定理）

对于任意的正整数

{\displaystyle n}

，都可以找到一个正整数

{\displaystyle x}

，使得

{\displaystyle x}

、

{\displaystyle x+1}

、

{\displaystyle x+2}

、…、

{\displaystyle x+n}

都是合数。

合数的类型[编辑]

100以内的过剩数、本原过剩数、高过剩数、超过剩数、可罗萨里过剩数、高合成数、superior highly composite number（英语：superior highly composite）、奇异数和完全数的欧拉图，以及和亏数、合数的关系

分类合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个可表示为两个质数之乘积的合数称为半质数，有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中，亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。对于后者，

(

)

(

−

)

{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x}=1}

（其中μ为默比乌斯函数且

{\displaystyle x}

为质因数个数的一半），而前者则为

(

)

(

−

)

−

{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1}

注意，对于质数，此函数会传回-1，且

(

)

{\displaystyle \mu (1)=1}

。而对于有一个或多个重复质因数的数字

{\displaystyle n}

，

(

)

{\displaystyle \mu (n)=0}

。

另一种分类合数的方法为计算其正因数的个数。所有的合数都至少有三个正因数。一质数

{\displaystyle p}

的平方，其正因数有

{

}

{\displaystyle \{1,p,p^{2}\}}

。一数若有着比它小的整数都还多的正因数，则称此数为高合成数。另外，完全平方数的正因数个数为奇数个，而其他的合数则皆为偶数个。

还有一种将合数分类的方式，是检查其质因数是否都比特定数字大，或是比特定数字小。这些会称为光滑数或粗糙数。

脚注[编辑]

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, pp. 23–24)

^ 2.0 2.1 Long (1972, p. 16)

^ Fraleigh (1976, pp. 198,266)

^ Herstein (1964, p. 106)

^ Fraleigh (1976, p. 270)

^ Long (1972, p. 44)

^ McCoy (1968, p. 85)

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 53)

参考文献[编辑]

Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976, ISBN 0-201-01984-1

Herstein, I. N., Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN 978-1114541016

Long, Calvin T., Elementary Introduction to Number Theory 2nd, Lexington: D. C. Heath and Company, 1972, LCCN 77-171950

McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68-15225

Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R., Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1970, LCCN 77-81766

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